Opgave 3 Styrketræning

I en Crossover-maskine kan man træne overkroppen ved at trække i to wirer som påsættes belastning efter eget ønske.

Manden ligger lidt skævt og trækker derfor ikke helt symmetrisk i de to wirer, som illustreret på figur 5.

Figur 5

Længderne af de to wirer er s₁ = 174 cm og s₂ = 180 cm. Desuden er den vandrette længde mellem de to lodrette stolper 239 cm.

a. Bestem vinklerne v₁ og v₂. 

Manden på tegningen har sat en belastning svarende til en kraft på

Kraften måles i Newton. Desuden trækker manden i de to wirer med kræfter, der benævnes  og . Se figur 6. 

Figur 6 

I den viste situation er de tre kræfter i ligevægt. Det vil sige 

b. Bestem størrelsen af de to kræfter  og .

c. Bestem de kartesiske koordinater for og .

Opgave 2 Redskaber

På figur 2 kan man se en tegning af en håndvægt, der benyttes til styrketræning og fitness. En håndvægt består af to vægtklodser, forbundet med en stang, der fungerer som håndtag. Hver vægtklods har form som et prisme med en regulær sekskant som grundflade. Sekskantens sidelængden b = 4,3 cm og højden h = 3 cm. 

Figur 2

Man kan bestemme arealet af en regulær sekskant med sidelængden b ved hjælp af formlen i boksen herunder.

Arealet Asekskant af en sekskant kan beregnes hvor b er sidelængden.

a. Bestem volumen af en vægtklods.



b. Forklar hvorfor volumen V af et regulært sekskantet prisme med sidelængde b og højde h kan beregnes med formlen

Der skal fremstilles nye håndvægte af samme form, men hvor hver vægtklods har et volumen på 300 cm³.

Overfladearealet af en vægtklods kan beregnes med formlen 

c. Bestem b og h således, at overfladearealet af vægtklodsen bliver mindst mulig.

En anden type håndvægt ses på billedet nedenfor. Her er de to vægtklodser lavet af metalskiver. I det følgende ser vi på den del af håndtaget, som ligger mellem vægtklodserne.

Kilde: Colourbox

Figur 3 viser et tværsnit af den øverste halvdel af håndtaget indlagt i et koordinatsystem. Håndtaget er rotationssymmetrisk omkring x-aksen.

Figur 3  

Tværsnittet er afgrænset af funktionen f givet ved

d. Bestem f'(6,9) og fortolk tallet. 

Håndtaget danner en vinkel, u, se figur 3, med vægtskiverne i hver side.

e. Bestem vinklen u.



f. Bestem den største omkreds af håndtaget.

Da håndtaget er rotationssymmetrisk om x-aksen, kan det matematisk beskrives som et omdrejningslegeme. I boksen herunder kan du se, hvordan man kan beregne volumen af et omdrejningslegeme.

Volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når området under grafen for f roteres 360o omkring x-aksen på intervallet fra a til b, kan her beregnes som

g. Bestem volumen af håndtaget.

Over hele Danmark er der de senere år etableret udendørs fitnessanlæg, som vist på billedet. Her kan man dyrke fitness i det fri og endda helt gratis.

I det følgende skal du arbejde med fitnessredskabet vist på billedet herunder.

Fitnessredskabet består af en metalbøjle med to håndtag.

Figur 4 viser en matematisk model af redskabet, hvor metalbøjlen tilnærmelsesvist siges at følge:

• en del af en parabel (vist med grøn på figur 4) med ligningen
  
   

samt

• en del af en cirkel med centrum i (1,81 ; 0,42) og radius 0,94 (vist med lilla på figur 4).

Jordoverfladen svarer til y = 0. Alle mål er i meter.

Figur 4

h. Bestem bredden af fitnessredskabet.

Billedet viser, at metalbøjlen har to håndtag, hvor man kan placere hænder og fødder. De to håndtag er placeret i henholdsvis 0,23 meters højde og 1,05 meters højde.

i. Benyt modellen til at bestemme afstanden mellem de to håndtag.

Du skal nu selv lave en matematisk model for et fitnessredskab. Du kan enten selv finde et redskab, du gerne vil beskrive, eller du kan benytte et af de redskaber, du ser på billederne nedenfor. For at få et billede, som du selv kan indlægge i fx GeoGebra, skal du højreklikke på billedet og gemme en kopi på din computer.

Du kan se en lille film, der viser, hvordan man kan lægge et billede ind i GeoGebra, så de angivne mål passer.

j. Opstil en matematisk model, der beskriver det valgte fitnessredskab eller dele af det. Du kan fx benytte linjer, cirkler og funktioner. 



k. Benyt modellen til at give et overslag over materialeforbruget af en selvvalgt del af dit fitnessredskab.

Opgave 1 Fitnesscentre

De senere år er antallet af fitnesscentre i Danmark vokset betragteligt. På figuren ses hvordan antallet af privatdrevne centre har udviklet sig i perioden 2006-2020.

Figur 1. Kilde: Dansk Fitness & Helse Organisation Årsberetning 2020, Maj 2021.

Tabellen Fitnesscentre viser data fra figur 1. 

a. Indtegn data i et passende koordinatsystem.

Udviklingen i antallet af fitnesscentre i Danmark i perioden fra 2006 til 2020 kan med tilnærmelse beskrives ved en lineær model af formen

 

hvor t angiver antal år efter 2006 og f(t) er antallet af fitnesscentre.

b. Opstil en lineær model, der beskriver udviklingen.

I Danmark var det første privatejede fitnesscenter, Århus Muscle Studio. Her kunne man dyrke styrketræning på hjemmelavet udstyr, der blandt andet bestod af træningsbænke lavet af gamle ølkasser.

Århus Muscle Studio åbnede i 1959. Hvis du ønsker at læse mere om Århus Muscle Studio og se billeder fra dengang, så klik på følgende link: Danmarks første fitnesscenter

c. Hvordan stemmer denne oplysning overens med modellen, du har bestemt i spørgsmål b?

Hos Danmarks Statistik kan man finde oplysninger om medlemstallet i fitnessorganisationer fordelt på landsdele/by, køn, alder og årstal. Klik på dette link: Statistikbanken

Følger man ovenstående link og vælger Hele landet, Fitness, Mænd og kvinder i alt, Markér alle samt 2021, ser det sådan ud: 

Når man herefter vælger VIS TABEL, ser man datasættet herunder:

Tabel 1. Datasæt 1.

d. Tegn sumkurven for datasættet.

Du skal nu selv udtrække et datasæt (Datasæt 2) med oplysninger om medlemstallet i fitnessorganisationer. Du kan fx se på en bestemt by eller landsdel eller et andet årstal.

e. Sammenlign Datasæt 1 og Datasæt 2 ud fra relevante deskriptorer og grafiske præsentationer. Du kan eksempelvis inddrage: 

• • Typeinterval
  • Median
  • Frekvenser
  • Sumkurve
  • Histogram

Præsentation

Fysisk sundhed er tæt knyttet til motion og bevægelse. I tusindvis af år har de fleste mennesker fået dækket deres behov for motion gennem deres arbejde og hverdag. I nyere tid, og særligt gennem de seneste 50-70 år, har der i den vestlige verden været et stigende behov for aktivt at motionere for at vedligeholde den fysiske tilstand. I den forbindelse er begrebet Fitness opstået, hvilket blandt andet dækker over at være i god form og at dyrke konditions- og styrketræning. Formålet med at dyrke fitness kan være at forbedre kondition, motorik, styrke, velvære og smidighed, og for nogle er de sociale aspekter også væsentlige. I Danmark dyrkes fitness af folk i alle aldre, af alle køn og over hele landet, og det vurderes at omkring en million danskere regelmæssigt dyrker en eller flere former for fitness. 

Fitness forbindes måske ofte med indendørs centre, hvor der kan anvendes en lang række redskaber samt forskellige øvelser med hvert sit specifikke formål fx styrketræning. Men i flere parker stiller man i dag udendørs redskaber til rådighed, hvor man samtidig med sin træning, kan nyde den friske luft i uforpligtende omgivelser.

Opgaverne i dette projekt omhandler emnet Fitness.

Kilde: Colourbox

Vejledning til eleven

Du skal nu i gang med matematikprojektet Fitness.
Projektbeskrivelsen er opdelt i to underafsnit: præsentation og opgaver.

Omfanget af opgavebesvarelsen
Omfanget af din opgavebesvarelse skal svare til, at du har haft 12 timer af uddannelsestiden til at løse opgaven. Rapporten bør højst være på 20 sider. Herudover kan du vælge at have et afsnit med bilag, hvor du f.eks. kan dokumentere gentagne beregninger. Selve beregningsmetoden skal belyses grundigt med et gennemregnet eksempel i et af rapportens hovedafsnit.

Vejledningen i prøveperioden
Du må modtage vejledning i forbindelse med løsningen af opgaven. Du skal naturligvis selv finde en løsningsmetode, men det må gerne ske i en diskussion med en lærer eller andre. Når du modtager vejledning, er det vigtigt, at det er dig, der styrer diskussionen og stopper den, når du er parat til at arbejde videre på egen hånd.

Dokumentationen
Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm., således at din tankegang og fremgangsmåde tydeligt fremgår af besvarelsen. Du skal aflevere en selvstændig og individuel besvarelse udarbejdet med it‐hjælpemidler.

Bedømmelsen af besvarelsen
Ved bedømmelsen vurderes i hvilket omfang du kan:

• opstille matematiske modeller, regne på dem og vurdere dine resultater
• anvende matematiske teorier og metoder fra undervisningen
• gøre rede for din tankegang
• inddrage flest mulige relevante emner inden for matematikken (fx funktioner, geometri, trigonometri, vektorer osv.)
• anvende it-værktøjer til beregninger og dokumentation
• formulere dig præcist i et matematisk sprog og bruge korrekt matematisk notation
• fremstille og strukturere overskuelig dokumentation og demonstrere overblik.

Den mundtlige prøve
Ved den mundtlige del af prøven i matematik B skal du kort præsentere dit projekt. Her skal de væsentligste problemstillinger trækkes frem, og du skal beskrive, hvordan du har behandlet dem. Din lærer kan stille supplerende og uddybende spørgsmål. Prøven varer i alt 30 minutter, og præsentationen af projektet med efterfølgende spørgsmål må højst tage 1/3 af tiden.

Udover den del, der handler om projektbesvarelsen, får du også tildelt et kendt spørgsmål ved lodtrækning. Dette spørgsmål handler om et af de emner, der er arbejdet med i undervisningen, og spørgsmålet knytter sig til en af de projekter, du har lavet og den teori det omhandler.

Endelig får du en ukendt opgave ved lodtrækning, der tester fagets mindstekrav.

Du får én karakter i matematik, der er givet på baggrund af din projektbesvarelse og den mundtlige præstation - herunder din besvarelse af de udtrukne spørgsmål.


Video- og billedmateriale uden kildeangivelse tilhører opgavekommissionen.